存在しない数学者

世界で最も重要な数学者の一人は、ほぼ 1 世紀にわたり研究を続け、この分野全体の指針として機能する合計数千ページに及ぶ数十冊の本を出版しました。彼の名前はニコラ・ブルバキですが、存在しません。

ブルバキは数学者の秘密結社の別名です。 1934 年にフランスで最初に結成されたこのグループは、数学の教科書を更新し、現代の読者により適したものにするという単純な目標を掲げて始まりました。その代わりに、彼は何十年にもわたって波を起こすことになるまったく新しい数学の記述方法を作成しました。

当初、グループは、自分たちの仕事は約 1,000 ページで、6 か月かかるだろうと考えていました。ブルバキは 1935 年までに 6 冊のシリーズを執筆することを決定しており、後に説明的な序文で述べているように、各冊は前著に基づいて「現代数学全体に強固な基礎を提供する」ものでした。研究グループは、この本は 3000 ページ以上あり、1 年以内に完了すると考えていました。彼らは最初の質問は概ね正しくできましたが、2番目の質問は非常に悪かったです。

これらの本（最終的には複数の物理的な巻で構成された）は順番に読むことを意図していましたが、1939 年にブルバキによって出版された最初のテキストは、最初の本の最終章でした。 集合の理論。そこから、グループは立ち直り、何年にもわたって他の本のいくつかの章を出版し、ただ戻ってきただけでした。 集合の理論 1954 年に始まり、1970 年に最終的に終了しました。最終的に作品全体にラベルが付けられました。 数学の要素この珍しい単数形は、まとまった全体としての数学者の研究を強調することを目的としています。この 6 冊の本は 1980 年代まで完成せず、最終的なページ数は 4000 ページ近くに達しましたが、当時、ブルバキは当初のプロジェクトの範囲がさらに拡大するにつれて新しい本の出版を続けていました。

このアナーキーな出版スケジュールは、ブルバキの独特のやり方によるものである。最初のグループは、数論と代数幾何学に信じられないほどの影響を与えることになるアンドレ・ヴェイユを含む、6 人の若い数学教授で構成されていました。ほとんどはフランス、パリの高等師範学校の元学生で、グループ名の由来となった理解できない「ブルバキの定理」に関する学生時代のジョークだった。

このジョーカー的な態度がグループの結束の鍵となった。集会は混沌と酒にあふれ、しばしば叫び合いや下品な冗談に発展した。メンバーの 1 人が提案されたテキストを作成し、それを 1 行ずつ読み、グループの残りのメンバーが批評したり質問したりします。その後、別のメンバーが修正文書を作成し、全会一致の合意が得られるまでプロセスが続きました。中章の制作に10年かかったのだから、それほど時間がかかったのも不思議ではない。ブルバキのメンバーは50歳に達したら引退するように勧められ、代わりに他のメンバーが採用され、これは数世代にわたる数学的な取り組みとなった。

永遠の課題

しかし、ブルバキは実際に何をしていたのでしょうか？その制作方法とは対照的に、ブルバキの作品は欠点までに地味で厳格だった。 集合の理論 彼は、数学者が関与する数学的対象や考え方が人間の言語や記号から独立しているという、数学の中心にある永遠の問題に対処できる基盤を構築することを意図していました。

その理由を理解するには、「加算」という単語または「+」記号を思い浮かべてください。これらは、実際の基礎となる数学的概念に対して完全に任意の関係を持ちます。つまり、その意味に同意する限り、合計を示すために任意の記号の文字列を使用できます。それどころか、加算は減算と厳密かつ本質的な関係にあります。なぜなら、一方が他方を反転し、これが何と呼ばれても当てはまります。

実際には、数学者は概念と単語や記号との間の標準的な対応関係についての規則を持っているため、数学的概念のラベル付けは問題になりませんが、原理的には矛盾や不一致が生じる可能性があります。

ブルバキは、この種の形式化を試みた最初の人物ではありませんでしたが (私は最近ここで初期の取り組みについていくつか書きました)、おそらく最も衒学的な人物でした。たとえば、数字 1 は、本書 158 ページの脚注で慎重に定義されています。 集合の理論。ブルバキは、「記号「1」は、一般用語の「1」という言葉と混同されるべきではなく、次の定義と同等であると考えられるべきであると書いています。

τZ ((∃u)(∃U)(u = (U, {∅}, Z) および U ⊂ {∅} × Z および (∀x)((x ∈ {∅}) ⇒ (∃y)((x, y) ∈ U)) および (∀y, y’)(∀y’)(∀y’)(∀y’) U および (x, y’) ⇒ (∀y)((x, y) ∈ U)) (∃x)((x, y) ∈ U)))

慌てないで。ここでこれを分解することはできませんが、非常に大まかな説明として、∅ は集合 (オブジェクトの集合を表す数学用語) であり、その集合にはオブジェクトが含まれていないため、「空集合」であるということになります。そこから、1 はオブジェクトを含む集合、つまり空集合であるオブジェクトを含む集合である {∅} として定義されます。詳細については、前のコラムをご覧ください。

驚くべきことは、この記号の混乱の中に、実際にははるかに大きな正式な定義が隠されていることです。各落書きは、この本の前半のテキストに基づいて、記号 τ、∨、ε、☐、=、⊂、および ∈ だけを使用して、注意深く、耐え難いほど定義されています。ブルバキがそれらを完全に書き出すことは決してないということは言う価値があります。脚注では、この定義のためにそれを行うには数万のシンボルが必要になると見積もっています。これは大幅な過小評価であることが判明し、後の数学者は、数字 1 の完全な式を書くには 45 億個以上のシンボルが必要になるか、あるいは可能性があると計算しました。 2,409,875,496,393,137,472,149,767,527,877,436,912,979,508,338,752,092,897 シンボル (どの程度厳密にするかに応じて)。

数学者が本当に何らかの研究をしたいのであれば、このような厳密な形式化から逸脱することが明らかに必要であり、ブルバキもそのように認めているが、「1」や「1」のようなショートカットの使用は「言語の乱用」であると常に主張している。ブルバキはルールを作ることで、数学者にルールを破る許可を与えた。

新しい数学の問題

それでは、これらすべてが実際に何を達成したのでしょうか?一方で、それは数学を単一の存在として統一するというブルバキの目標を可能にした。理論上、数学の 2 つの異なる分野の用語と概念を同じ基本記号を使用して記述できる場合、これは一方から他方へ移行するための厳密な基礎となります。実際にはこれを行う人はいませんが、数学をより強固な哲学的基盤に置くことになります。そして数十年後、数学者たちが人工知能によって生成された証明を検証するためにコンピューター支援による形式化の使用を模索する中、ブルバキのアプローチは驚くほど影響力があることが判明している。ブルバキはまた、今日でも数学者によって使用されている多くの概念や記号 (たとえば、空集合の ∅ ) を導入しました。さらに広く言えば、ブルバキアンの文体は現代の数学の教科書に影響を与え続けています。

しかし、ブルバキには批判者がいなかったわけではない。の出版として、 数学の要素 続けて、一部の数学者は、衒学的な厳密さに対するグループの主張に反発した。さらに奇妙なことに、ブルバキは学校での数学の教え方を作り直すという壊滅的な試みにインスピレーションを与えた。 1950 年代後半にフランスで初めて出現し、その後米国に広がりました。米国およびその他の国では、「新しい数学」と呼ばれていましたが、九九などの伝統的な教育ツールを放棄し、代わりにブルバキの教えに基づいた厳密な集合論的アプローチで数学を指導しようとしました。目標は、3 × 4 = 12 などの特定の事実を覚えることではなく、たとえば掛け算の一般的な概念を理解することでした。

New Math は一般に惨事とみなされていました。多くの場合、親は子供たちが何を教えられているかを理解しておらず、教師も同様でした。ベストセラーの本、 なぜジョニーは追加できないのですかこれは痛烈な叱責として機能し、1970 年代の終わりまでに New Math はほとんど放棄されました。 1970年代は別の面でもブルバキにとって悪い時期で、ブルバキは著作権と出版社との著作権をめぐる法廷闘争を余儀なくされた。

しかし、ブルバキは現在も活動を続けており、今年だけで新しい本の2章を出版しているが、伝統的に、その背後にある著者は秘密のままである。ある意味、秘密主義のおかげで、数学者たちはブルバキを少し恥ずかしい叔父として扱うことができる。誰もがやりたがらない仕事をしている彼がそこにいてくれるのをみんなが喜んでいるが、同時に数学者たちは彼を夕食に招待する必要がなくなって安心しているのだ。