フェルマーの最終定理: 350 年前の数学の秘密について今でも必読の書

26という数字はとても特別なものだということをご存知ですか？これは平方数 (25 または 5) の間に直接ある唯一の数字です。²) と立方数 (27 または 3)³）。そして、明確にしておきたいのは、この正方形のキューブサンドイッチの別のケースに遭遇したことがないというだけではありません。ゼロと無限の間には他に存在しないことを私たちは確信しています。

サイモン・シンの 1997 年の本 フェルマーの最終定理 これは数学的証明の探求です。それが何を意味するのか、どのようにして得られるのか、そしてそれを熱心に求める人々を駆り立てるものは何なのか。特に魅惑的な証拠を探す物語が描かれており、読み応えがあります。しかし、この証明が現れるまでに 350 年かかったので、結果的には数学史の素晴らしい作品にもなりました。私たちの多くにとって、数学の本質は私たちをはるかに超えた抽象的な推論の領域にあります。しかし、私にとって、シンがこの本を書いてから 30 年近く経った今でも、この本が絶対的な宝物であるのは、この魅惑的な世界の中心に私たちを連れて行ってくれる方法です。

シンは、三角形関連で有名なピタゴラスから最初にうまくスタートします。誰もがピタゴラスの定理について聞いたことがあるでしょう。これは、直角三角形の最も短い 2 つの辺の長さの 2 乗を加算すると、最も長い辺の長さの 2 乗に等しいというものです (次のように表現できる考え方)。² + e² = z²）。以前にも他の人がこの方法を使って三角形を扱っていましたが、ピタゴラスが他と異なる点は、それがすべての直角三角形に当てはまることを示したことだとシンは書いています。彼は試行錯誤や実験によってではなく、議論の余地のない論理を使用してそれを行いました。 「数学的証明の探求とは、より絶対的な知識の探求である」とシンは書いている。 [that] 他の分野によって蓄積されたものです。」

ピタゴラスの物語は、実はこの本の中で私の一番好きな部分の一つでした。彼が証拠を求める秘密の同胞団の創設者だったとは知りませんでした。そして、サイクロンという名前の男が同胞団への参加を拒否され、復讐のためにピタゴラスを殺そうと計画した経緯を注意深く読みました。

しかし、物語を適切に開始するのはピエール・ド・フェルマーです。彼は17世紀前半にフランスに住んでいた裁判官でした。^番目 そして驚異的な数学的才能。彼が証明したことの 1 つは、前述した 26 という数字の特異点です。しかし、彼を有名にしたのは、ピタゴラスの定理を単純に拡張した、いわゆる最終定理でした。標準的なピタゴラス方程式にうまく当てはめることができる整数の無限の配列が存在することはわかっていますが、フェルマーは方程式 ax が当てはまると推測しました。ⁿ + eⁿ = zⁿn が任意の整数である場合、整数解はまったく存在しません。 1637 年頃、彼はこれについて「本当に素晴らしい」証拠があると生意気に主張しましたが、書き留めませんでした。

350 年間、数学者たちがその秘密を解明しようと半狂乱になってきたことがわかります。シンは、このすべてをスタイリッシュかつ簡単にガイドし、途中で素晴らしい登場人物たちを歓迎します。私のお気に入りの一人は、男性の名前で秘密裏に活動していたフランスの数学者、ソフィー・ジャーメインでした。エヴァリスト・ガロアは数学で画期的な進歩を遂げた気性の激しい革命家ですが、その後決闘で亡くなりました。そして、フェルマー予想を最終的に証明するための基礎を築くのに貢献した優秀な若い日本の数学者である谷山豊は、後に悲劇的に自ら命を絶った。

しかし、私たちの物語の主役は数学者のアンドリュー・ワイルズであり、彼は（ネタバレ注意）1994年についにフェルマーの定理が正しいことを証明した。シンはワイルズについて素晴らしく豊かな人物像を描いているが、ワイルズが明らかに脚光を浴びることを好まないことを考えると、それはなおさら印象深い。読んでいると、ワイルズが何をしていたかが大体わかったような錯覚に陥りました。簡単に言うと、楕円曲線と呼ばれる数学の一分野と、以前はチョークとチーズだと考えられていたモジュラー形状と呼ばれる別の分野との間に論理的な橋を構築することが含まれていました。これ以上のことをここで語ることは不可能です。これは古風ではありますが、魅力的なものです。

しかし、この物語には緊張したコーダがあり、それはワイルズの最初のテストにエラーが含まれていたということです。これは悪夢のようなシナリオですが、完璧に、ワイルズは灰の中から立ち上がり、最終的に不具合を修正します。この本に対する私の唯一のわずかな批判は、物語のこの設定部分がもっと短くてもよかったということです。

シンの本は古くなっても、そのテーマは現代の数学に関連し続けています。この本とワイルズの証明の両方を支えるアイデアの 1 つは、ラングランズ プログラムと呼ばれるものです。これは 1967 年に数学者ロバート ラングランズによって考案されました。彼は、根底では数学のすべての分野がつながっていると推測しました。これらのつながりを見つけることで、数学のある分野の難解な問題が、別の分野のツールの武器を突然使用できるようになり、突然崩壊することが期待されています。ワイルズの研究は、ラングランズ計画が何かをつかんでいるかもしれないという初期の兆候であり、最近さらに多くのことが明らかになりました。 2024 年、数学者たちは調和解析と呼ばれる数学の分野に関連するラングランズ予想の一側面の証明を発表しました。

本を読み終えて本を置いたとき、まるで抽象芸術でいっぱいのギャラリーをさまよっているような気分にならずにはいられませんでした。数学的な証明は芸術に似ていると思います。それらを作った魔術師がどのようにそれを行ったのか疑問に思いながら、静かにそれらを観察すると、日常の経験の表面を超えた何かを垣間見たような感覚が湧き上がります。このような感情を作り出すことに成功したこの本には、最高の賞賛を捧げるほかありません。