数学はあなたが常に受け入れるべき一つのギャンブルを明らかにします

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私にゲームに挑戦してください。公平なサイコロを振り、1 か 2 が出た場合は 10 ドルを獲得します。 3 を達成すると、20 ドルを獲得できます。そうしないと手ぶらで帰ってしまいます。この方法では何も失うことはできないので、各ロールに 10 ドルの賭けをお願いします。受け入れますか

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自分の直感に基づいて決めることができます。しかし、リスクに見合う価値があるかどうかを判断する体系的な方法もあります。たとえば、確率論を考えてみるとよいでしょう。一般的なサイコロには 6 つの面があるため、6 つの出目があります。 6 つの可能性のうち 2 つだけ (すなわち、 ¹⁄₃ の時間)、あなたは 10 ドルを獲得します。また、20 ドルを獲得する確率 (つまり、サイコロが 3 を振る確率) は次のとおりです。 ¹⁄₆。これらのオッズに金額を掛けて合計すると、次のようになります。 ⁴⁰⁄₆ = ²⁰⁄₃。つまり、統計的に言えば、1 ゲームあたり平均 6.66 ドルの収益を得ることができます。

しかし、私は1ロールあたり10ドルのシェアを求めました。つまり、1 試合あたり平均 3.33 ドルを稼ぐことになります。すべてを考慮すると、断るべきです。

すでに 1713 年に、数学者のニコラウス 1 世ベルヌーイとピエール ド モンモールは、もう少し複雑なシナリオについてアイデアを交換しました。表が出るまでコインを投げるというものでした。この考え方では、ピッチをすればするほど収入が増え、収入は常に 2 倍になります。したがって、初めて裏が出たときは 1 ドルを獲得し、次に 2 ドルを獲得したときは 4 ドルを獲得し、というようになります。私があなたにプレイを申し出て、2,000 ドルという非常に高い賭け金を要求したと想像してください。受け入れますか

どのゲームでもプレイする

良識ある人であれば、おそらく明確に「ノー」と答えるでしょう。しかし、妥当な賭けは何でしょうか?これについては、数学を参照して期待値を確認できます。 ¹⁄₂コインは最初のトスで裏が出ます。2 回連続で裏が出ると、次の確率に相当します。 ¹⁄₄それを 3 回行うと、次の確率に相当します。 ¹⁄₈等々。

同時に勝利も ダブルス それぞれの場合において。したがって、期待値は無限和になります。

これは、数学的に言えば、賭け金が高すぎるということはないことを意味します。常にプレイする必要があります。

ベルヌーイとモンモルトは思考実験の舞台としてサンクトペテルブルクのカジノを選んだため、以後この直感に反する結果をサンクトペテルブルクのパラドックスと呼びました。しかし、これは厳密な意味での矛盾を意味するものではありません。唯一の矛盾は、人々はおそらく推奨された行動方針には決して従わないということです。

これらの結果は、無限を伴うため、一部直観に反します。期待値は無限数の加数の加算によって得られるため、利益は急速に増加します。 6 回の打ち上げに成功すると、32 ドルを獲得できます。さらに 6 つ獲得すると、賞金は $2,048 になります。幸運が続き、あと 6 回着地すると、131,072 ドルを獲得できます。

結局のところ、このゲームは極めて非現実的です。挑戦者が無限のリソースを持っている場合にのみ機能します。私は個人的にはそうではありません。金庫が膨らんだカジノでも上限はあります。資本が有限であると仮定すると、ゲームを無限に続けることはできません。

境界線を設定し、10億ドル規模の戦いに参加する

私の口座に 1,050 ドルがあり、コイントスに挑戦するために何でも賭けるつもりだとします。私から得られる最高額が 1,000 ドル強であるのに、2,000 ドルを賭けるように頼むことはできません。そこで、私はあなたに 6 ドルのフレンドリーな賭けを提案します。受け入れますか

手元にあるのは $1,050 だけなので、ゲームの期待値が変わります。連続して 11 個の数字が出た場合、私はすでに 1,024 ドルを支払う必要があるため、12 番目の出目には資金を提供できない可能性があります。したがって、修正された期待値は 1 × に対応します。 ¹⁄₂ +2倍 ¹⁄₄ +4倍 ¹⁄₈ + … + 1,024 × ¹⁄_2,048 = ¹⁄₂ × 11 = 5.5。

私の限られた財産を考えると、状況は完全に変わりました。無限の期待値の代わりに、$5.5 の結果が得られます。つまり、6 ドルの賭けはゲームを拒否する必要があります。一方、（私が暗算があまり得意ではないという事実を利用して）私を 5 ドルまで取引してくれれば、ある程度の利益が得られる可能性は十分にあります。

億万長者があなたにゲームを挑んできたらどうしますか?プレーしたい賭け金を計算するには、この太った猫が破産するまでに継続できる最大ラウンド数を決定する必要があります。規模の大きさを考えると、わずか 38 ラウンドの後、挑戦者はすでに 1,370 億ドル以上の借金を抱えていることになります。 （その数字は、ウォーレン・バフェットが再びコインを投げるのを不快にし、ビル・ゲイツを破産させるでしょう。）対戦相手が提供できるのがそれだけであると仮定すると、期待値（受け入れるべき最大の賭け金）はわずか19ドルです。

この記事は最初に掲載されました ウィッセンシャフトのスペクトル 許可を得て転載しています。人工知能の助けを借りてオリジナルのドイツ語版から翻訳され、編集者によってレビューされました。。